PhiloDream

Доказательства различаются прежде всего по их цели, по отношению доказывающего к выдвинутому тезису. Можно подтвердить истинность тезиса и доказать его ложность. Подтверждение тезиса часто называют доказательством, а опровержение синонима не имеет.

Следовательно, существуют два рода доказательства: подтверждение и опровержение тезиса.

Целенаправленность доказательства является исходным основанием деления всех доказательств. Оно предопределяет все построение и характер дальнейшего рассуждения. Цель его определяется не произвольно, а в зависимости от содержания обосновываемого положения. Не соответствующий действительности тезис невозможно подтвердить, как нельзя опровергнуть истинный тезис.

Выбор способа доказательства тоже в значительной мере зависит от содержания тезиса, однако связь эта неоднозначна: любое положение можно аргументировать различным способом в зависимости от характера оснований или соображений доходчивости, ясности и убедительности.

По способу аргументации все доказательства делятся на два вида – прямые и косвенные. Прямое доказательство заключается в выведении из основания по определенным правилам умозаключения истинности или ложности данного тезиса. При косвенном доказательстве обосновывается ложность антитезиса и отсюда устанавливается истинность тезиса или, наоборот, его ложность.

Рассмотрим оба вида доказательства несколько подробнее.

В прямом доказательстве в цепочке умозаключений последним звеном будет являться доказываемый тезис. Например, доказательства того, что 2004 год будет годом високосным основано на последовательности таких рассуждений:

1) високосным годом называется год, числовое выражение которого делится на 4;

2) (2004/4=501), следовательно, 2004 год будет високосным. Нетрудно увидеть, что вывод был сделан на основании определения (что такое високосный год) и одного истинного утверждения (2004 делится на

4), принятых в качестве основания нашего доказательства.

Бывает, что прямое доказательство по какой-либо причине неосуществимо. В таких случаях прибегают к косвенным доказательствам, именуемым иногда «доказательством от противного» или «апагогическим», то есть «отводящими». Главной особенностью косвенного доказательства является то, что непосредственно доказывается не тезис, а его отрицание – антитезис, причем доказательство устанавливает ложность последнего. Затем на основе закона исключенного третьего необходимо заключают об истинности тезиса. Таким образом, доказываемое утверждение на протяжении почти всего доказательства остается как бы в стороне, как бы привлекаясь только на заключительной стадии.

Общая логическая форма косвенного доказательства выглядит следующим образом. Необходимо доказать утверждение А (тезис); допустим, что имеет место (т.е. истинно) не-А; из не-А получаем в качестве следствия некоторое утверждение В; устанавливается, что В противоречит истинности ранее доказанного утверждения, следовательно, является ложным; от ложности следствия В заключаем к ложности его основания, т.е. к ложности утверждения не-А; на основании закона неисключенного третьего из ложности не-А делаем вывод об истинности утверждения А, что и было целью доказательства.

Легко заметить, что переход от ложности следствия к ложности его основания был совершен в соответствии с отрицательным модусом условно – категорического силлогизма.

Если А, то В

Не-В

Следовательно, не-А

Из рассмотренного следует, что косвенное доказательство – это такой вид рассуждений, при котором доказывается ложность отрицания тезиса и на этом основании заключают об истинности тезиса.

В качестве примера косвенного доказательства приведем геометрические теоремы: «Два перпендикуляра к одной и той же стороне не могут пересечься, сколько бы их не продолжали». Доказательство начнем с того, что сначала сформулируем утверждение, что из точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую два перпендикуляра. Но это следствие ложно, т.к. ранее была доказана теорема, что «из точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую только один перпендикуляр». Из ложности следствия, утверждающего о возможности опустить на эту прямую из точки, находящейся вне прямой, два перпендикуляра, мы делаем вывод о ложности его основания, т.е. принятого нами допущения, из которого одно, а именно допущение, является ложным утверждением. На основании закона исключенного третьего мы заключаем об истинности теоремы в ее вышеприведенной формулировке.